浮点数2

舍入

对于浮点数的加法和乘法来说，我们可以先计算出准确值，然后转换到合适的精度。在这个过程中，既可能会溢出，也可能需要舍入来满足 frac 的精度。

在二进制中，我们舍入到最近的偶数，即如果出现在中间的情况，舍入之后最右边的值要是偶数，对于十进制数，例子如下：

1
2
3
4
5
  原数值       舍入结果    原因
2.8949999      2.89    #不到一半，正常四舍五入
2.8950001      2.90    #超过一般，正常四舍五入
2.8950000      2.90    #刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向上舍入
2.8850000      2.88    #刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向下舍入

对于二进制数也是类似的

1
2
3
4
5
  十进制    二进制     舍入结果  十进制    原因
2 又 3/32  10.00011   10.00     2    \\不到一半，正常四舍五入
2 又 3/16  10.00110   10.01  2 又 1/4 \\超过一般，正常四舍五入
2 又 7/8   10.11100   11.00     3    \\刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向上舍入
2 又 5/8   10.10100   10.10  2 又 1/2 \\刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向下舍入

浮点数加法

(−1)s1M12E1+(−1)s2M22E2(−1)^{s1}M_12^{E1}+(−1)^{s2}M_22^{E2}

这里假设 E1>E2，结果是 (−1)sM2E(−1)^sM2^E ，其中 s=s1∧s2,M=M1+M2,E=E1s=s1∧s2,M=M1+M2,E=E1

  • 如果 M 大于等于 2，那么把 M 右移，并增加 E 的值
  • 如果 M 小于 1，把 M 左移 k 位，E 减少 k
  • 如果 E 超出了可以表示的范围，溢出
  • 把 M 舍入到 frac 的精度

基本性质

  • 相加可能产生 infinity 或者 NaN
  • 满足交换率
  • 不满足结合律（因为舍入会造成精度损失，如 (3.14+1e10)-1e10=0，但 3.14+(1e10-1e10)=3.14）
  • 加上 0 等于原来的数
  • 除了 infinity 和 NaN，每个元素都有对应的倒数
  • 除了 infinity 和 NaN，满足单调性，即 a≥b→a+c≥b+ca≥b→a+c≥b+c

浮点数乘法

(−1)s1M12E1×(−1)s2M22E2(−1)^{s1}M_12^{E1}×(−1)^{s2}M_22^{E2}

结果是 (−1)sM2E(−1)^sM2^E，其中 s=s1∧s2,M=M1×M2,E=E1+E2s=s1∧s2,M=M1×M2,E=E1+E2

  • 如果 M 大于等于 2，那么把 M 右移，并增加 E 的值。
  • 如果 E 超出了可以表示的范围，溢出
  • 把 M 舍入到 frac 的精度

基本性质

  • 相乘可能产生 infinity 或者 NaN
  • 满足交换率
  • 不满足结合律（因为舍入会造成精度损失）
  • 乘以 1 等于原来的数
  • 不满足分配率 1e20*(1e20-1e20)=0.0 但 1e20*1e20-1e20*1e20=NaN
  • 除了 infinity 和 NaN，满足单调性，即 a≥b→a×c≥a×b

今日体重

又回去了，虽然跑了个一两天步，但感觉总体运动量还是不太够

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