CSAPP阅读笔记3——数据编码3

浮点数

浮点数的定义: \[ d=\sum_{i=-n}^m2^i \times d_i \] 这个定义导致我们只有在表示\(\frac{x}{2^k}\)时候是精确的,其它数字的小数部分都会变成循环小数。而由于这些数字的编码长度都是有限的,通过这种表达方式表示的浮点数都是有限的。

IEEE 浮点数标准

以下内容引用自文章【读薄 CSAPP】壹 数据表示

IEEE 的浮点数标准更多是从数值角度来建立的,对于舍入,上溢出和下溢出都有比较统一的处理方法。但与此同时也给硬件优化带来了比较大的困难。因为和平时使用的数制也有一定差异,从理解的角度来看不够直观,但是好在主流的 CPU 都支持浮点数,所以我们不必过多涉及这方面的细节。

在 IEEE 标准中,我们用下面的公式来表达浮点数: \[ (−1)^sM2^E \]

其中 s 是符号位,决定正负;M 通常是一个值在 [1.0, 2.0) 的小数;E 是次方数。具体编码时结构如下,这里用单精度、双精度和扩展精度为例:其中 s 是符号位,决定正负;M 通常是一个值在 [1.0, 2.0) 的小数;E 是次方数。具体编码时结构如下,这里用单精度、双精度和扩展精度为例:

下图中 s 对应着符号位,exp 对应着 E(注意,不一定等于 E,因为位数限制表达能力有限),frac 对应着 M(注意,不一定等于 M,因为位数限制表达能力有限)。不同的位数就代表了不同的表示能力,也就是单精度,双精度,扩展精度的来源。

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形式 指数 小数部分
0 0
非规约形式 0 大于0小于1
规约形式 1到\(2^e-2\) 大于等于1小于2
无穷 \(2^e-1\) \(0\)
NaN \(2^e-1\) 非0

例子如下

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    s exp  frac   E   值
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0 0000 000 -6 0 # 这部分是非规范化数值,下一部分是规范化值
0 0000 001 -6 1/8 * 1/64 = 1/512 # 能表示的最接近零的值
0 0000 010 -6 2/8 * 1/64 = 2/512
...
0 0000 110 -6 6/8 * 1/64 = 6/512
0 0000 111 -6 7/8 * 1/64 = 7/512 # 能表示的最大非规范化值
------------------------------------------------------------------
0 0001 000 -6 8/8 * 1/64 = 8/512 # 能表示的最小规范化值
0 0001 001 -6 9/8 * 1/64 = 9/512
...
0 0110 110 -1 14/8 * 1/2 = 14/16
0 0110 111 -1 15/8 * 1/2 = 15/16 # 最接近且小于 1 的值
0 0111 000 0 8/8 * 1 = 1
0 0111 001 0 9/8 * 1 = 9/8 # 最接近且大于 1 的值
0 0111 010 0 10/8 * 1 = 10/8
...
0 1110 110 7 14/8 * 128 = 224
0 1110 111 7 15/8 * 128 = 240 # 能表示的最大规范化值
------------------------------------------------------------------
0 1111 000 n/a 无穷 # 特殊值

今日体重

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