整形变量Integer

类型拓展与截取

无符号数的零拓展：无符号数转换为更大的数据类型，只需要在开头添加0即可，这种运算也被称为零拓展。

**补码数的符号拓展：**补码数转换为更大的数据类型需要在开头添加最高有效位的值，即：如果为负数，需要在拓展出来的开头位置添加数个1，正数需要添加数个0。

截断数字

当我们将一个位数为 w 的数字截断为 k 位的数字时，我们会丢弃最高的w-k位。

**截断无符号数：**相当于做mod运算，$x’=x\ mod\ 2^k$

**截断补码数值：**和无符号值相似，不过需要将最高位转换为符号位

运算与溢出

无符号数字加法：溢出时会丢弃最高位，实际上相当于做了个mod操作
$$
x+^u_wy=
\left{
\begin{array}{l}
x+y,\quad x+y<2^w\
x+y-2^w, \quad 2^w\leq x+y<2^{w+1}\
\end{array}
\right.
$$
检测无符号数是否溢出：当$s<x$或$s<y$时发生了溢出

补码加法：溢出时会产生正溢出和负溢出，正溢出是数字太大，把符号位改成了1而变成了负数，负溢出为数字太小把符号位改成了0而变成了正数

对于满足$-2^{w-1} \leq x,y<2^{w-1}$​的整数，有：
$$
x+^t_wy = \left{
\begin
{array}{l}
x+y-2^w,\qquad 2^{w-1} \leq x+y\qquad \quad 正溢出\
x+y,\qquad -2^{w-1}\leq x+y < 2^{w-1}\qquad 正常\
x+y+2^w,\quad x+y<-2^{w-1} \qquad \quad负溢出
\end{array}
\right.
$$
对于乘法来说，值的范围会大很多，这里分情况讨论一下，假设两个乘数是 x,y 并且都是 w 位的：

  • 无符号数：至多 2w 位
    • 范围$ 0≤x×y≤(2w−1)^2=2^{2w}−2^{w+1}+1$
  • 有符号数，最小的负数：至多 2w - 1 位
    • 范围$x×y≥(−2^{w−1})×(2^{w−1}−1)=−2^{2w−2}+2^{w−1}$
  • 有符号数，最大的正数：至多 2w 位，只有$(TMin_w)^2$一种情况
    • 范围 $x×y≤(−2^{w−1})^2=2^{2w−2}$

如果需要保证精度，就需要用软件来实现了。另外，计算的无符号乘法的时候，会忽略最高的 w 位，相当于 $UMult_w(u,v)=u⋅v\ mod\ 2^w$

今日体重

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